23:51 Векторный потенциал | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Эта статья — о математическом термине. О его применении в физике см. Векторный потенциал электромагнитного поля. У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал. В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю. Формально, если v {\displaystyle \mathbf {v} } — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A {\displaystyle \mathbf {A} } такое, что v = ∇ × A . {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .} Если A {\displaystyle \mathbf {A} } является векторным потенциалом для поля v {\displaystyle \mathbf {v} } , то из тождества ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0} (дивергенция ротора равна нулю) следует ∇ ⋅ v = ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,} то есть v {\displaystyle \mathbf {v} } должно быть соленоидальным векторным полем. Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует. Содержание [скрыть] 1 Теорема 2 Неоднозначность выбора потенциала 3 Векторный потенциал в физике 3.1 Уравнения Максвелла 3.2 Физический смысл векторного потенциала 4 См. также Теорема[править | править вики-текст] Пусть v : R 3 → R 3 {\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} — дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что v ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} \left(\mathbf {x} \right)} убывает достаточно быстро при ∥ x ∥ → ∞ {\displaystyle \|\mathbf {x} \|\rightarrow \infty } . Определим A ( x ) = 1 4 π ∇ × ∫ R 3 v ( y ) ∥ x − y ∥ d y . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .} Тогда A {\displaystyle \mathbf {A} } является векторным потенциалом для v {\displaystyle \mathbf {v} } , то есть ∇ × A = v . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .} Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля. Неоднозначность выбора потенциала[править | править вики-текст] Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A {\displaystyle \mathbf {A} } является векторным потенциалом для v {\displaystyle \mathbf {v} } , также им является A + ∇ m {\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m} где m — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю. В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки. Векторный потенциал в физике[править | править вики-текст] Основная статья: Векторный потенциал электромагнитного поля Уравнения Максвелла[править | править вики-текст] Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал A {\displaystyle \mathbf {A} } вводится таким образом, что μ 0 H = B = rot A {\displaystyle \mu _{0}\mathbf {H} =\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A} } (в системе СИ). При этом уравнение div B = 0 {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0} удовлетворяется автоматически. Подстановка выражения для A {\displaystyle \mathbf {A} } в rot E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} приводит к уравнению rot ( E + ∂ A ∂ t ) = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0} , согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в E {\displaystyle \mathbf {E} } вносят вклад и скалярный и векторный потенциал: E = − grad φ − ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}} Из уравнения rot H = j + ∂ D ∂ t {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}} следует rot rot A = μ 0 j + ϵ 0 μ 0 ∂ ∂ t ( − grad φ − ∂ A ∂ t ) {\displaystyle \operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)} Используя равенство rot rot A = grad div A − ∇ 2 A {\displaystyle \operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \;\operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A} } , уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде Δ A − grad ( div A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 j {\displaystyle \Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j} } Δ φ + ∂ ∂ t div A = − ρ ϵ 0 {\displaystyle \Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}} Физический смысл векторного потенциала[править | править вики-текст] Подробнее по этой теме см. Векторный потенциал электромагнитного поля#Физический смысл векторного потенциала. В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере. В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряженность магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряженность, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома). Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса. Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA. См. также[править | править вики-текст] Скалярный потенциал Основная теорема векторного анализа Векторный потенциал электромагнитного поля Вектор Герца Калибровка векторного потенциала В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 6 июня 2015 года. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Векторный_потенциал&oldid=82979626» Категории: Векторный анализПотенциалСкрытые категории: Википедия:Статьи без ссылок на источники с июня 2015 годаВикипедия:Статьи без источников (тип: не указан) | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |