18:49 Седловая точка | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Седловая точка функции z=x2-y2 (обозначена красным) Седловая точка на карте высот (центр «восьмерки» образованной изолиниями) Не следует путать с гиперболической точкой — точкой, которую также называют седловой точкой поверхности. У этого термина существуют и другие значения, см. Седловая точка (значения). Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями. Седловая точка в математическом анализе[править | править вики-текст] Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции z = x 2 − y 2 {\displaystyle z=x^{2}-y^{2}} в стационарной точке ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} получим матрицу: [ 2 0 0 − 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}} которая является неопределенной. Поэтому, точка ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} является седловой точкой функции z = x 4 − y 4 {\displaystyle z=x^{4}-y^{4}} , но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной. В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке. График y = x3 с седловой точкой в 0 В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом). См. также[править | править вики-текст] Критическая точка (математика) Метод перевала Экстремум Особая точка (дифференциальные уравнения) Матрица (математика) Литература[править | править вики-текст] Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L. & Frank, David H (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, сс. page 375, ISBN 0-387-97388-5 Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344 von Petersdorff, Tobias (2006), "Critical Points of Autonomous Systems", Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, сс. page 128, ISBN 0-486-66103-2 Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Седловая_точка&oldid=78326132» Категории: Дифференциальное исчисление многих переменныхДифференциальная геометрия поверхностейТеория устойчивостиАналитическая геометрияСкрытые категории: Википедия:Статьи без сносокСтраницы, использующие волшебные ссылки ISBN | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |