23:28 Решётка Стоуна | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Решётка Стоуна — дистрибутивная решётка L {\displaystyle L} с псевдодополнениями, в которой a ∗ ∨ a ∗ ∗ = 1 {\displaystyle a^{*}\vee a^{**}=1} для всех элементов a {\displaystyle a} . Дистрибутивная решётка L {\displaystyle L} с псевдодополнениями является структурной решёткой тогда и только тогда, когда теоретико-структурное объединение двух её различных минимальных простых идеалов совпадает с L {\displaystyle L} (теорема Гретцера — Шмидта[1]). Структурная решётка, рассматриваемая как универсальная алгебра с основными операциями ⟨ ∨ , ∧ , ∗ , 0 , 1 ⟩ {\displaystyle \langle \vee ,\wedge ,{}^{*},0,1\rangle } , называется алгеброй Стоуна. Всякая алгебра Стоуна является подпрямым произведением двухэлементных и трёхэлементных цепей. В решётке с псевдодополнениями элемент x {\displaystyle x} называется плотным, если x ∗ = 0 {\displaystyle x^{*}=0} . Центр C ( L ) {\displaystyle C(L)} решётки Стоуна L {\displaystyle L} — булева алгебра, а множество D ( L ) {\displaystyle D(L)} всех её плотных элементов — дистрибутивная решётка с единицей. При этом гомоморфизм ϕ L {\displaystyle \phi ^{L}} решётки C ( L ) {\displaystyle C(L)} в решётку F ( D ( L ) ) {\displaystyle F(D(L))} фильтров решётки D ( L ) {\displaystyle D(L)} , определяемый условием a ϕ L = { x ∣ x ∈ D ( L ) , x ⩾ a ∗ } , {\displaystyle a\phi ^{L}=\{x\mid x\in D(L),x\geqslant a^{*}\},} сохраняет 0 и 1. Тройкой, ассоциированной с алгеброй Стоуна L {\displaystyle L} , называется тройка ⟨ C ( L ) , D ( L ) , ϕ L ⟩ {\displaystyle \langle C(L),D(L),\phi ^{L}\rangle } . Естественным образом определяются гомоморфизмы и изоморфизмы троек. Произвольная тройка ⟨ C , D , ϕ ⟩ {\displaystyle \langle C,D,\phi \rangle } , где C — булева алгебра, D {\displaystyle D} — дистрибутивная решётка с 1, а ϕ : C → F ( D ) {\displaystyle \phi \colon C\to F(D)} — гомоморфизм, сохраняющий 0 и 1, изоморфна тройке, ассоциированной с некоторой алгеброй Стоуна; алгебры Стоуна изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ассоциированные с ними тройки (теорема Чена — Гретцера[2]). Примечания[править | править вики-текст] ↑ Grätzer G., Schmidt E. T. «Acta math. Acad. sci. hung.», 1957, v. 8, fasc. 3-4, p. 455—460 ↑ Chen C. C., Grätzer G. «Canad. J. Math.», 1969, v.21, № 4, p. 884—903. Литература[править | править вики-текст] Биркгоф Г. Теория решёток. — пер. с англ., М., 1984. Фофанова Т. С. Упорядоченные множества и решётки. — в. 3, Саратов, 1975. С. 22-40. Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Решётка_Стоуна&oldid=78945558» Категория: Теория решётокСкрытые категории: Википедия:Статьи к переработкеНезавершённые статьи по алгебре | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |