14:21 Рациональные тригонометрические суммы | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Рациональные тригонометрические суммы — комплексные суммы особого вида, которые могут использоваться при доказательств теорем аналитической теории чисел Содержание [скрыть] 1 Определение 2 Некоторые оценки 2.1 Частные случаи 2.1.1 Линейные суммы 2.1.2 Суммы Гаусса (квадратичные) 2.2 Общие оценки 2.3 Частичные линейные суммы 3 Применение 4 История 5 См. также 6 Примечания Определение[править | править вики-текст] Рациональными тригонометрическими суммами называются суммы вида S φ ( q ) = ∑ x = 1 q e 2 π i φ ( x ) q {\displaystyle {S_{\varphi }}(q)=\sum \limits _{x=1}^{q}{e^{2\pi i{\frac {\varphi (x)}{q}}}}} , где φ ( x ) = ∑ k = 0 n a k x k {\displaystyle \varphi (x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}} — многочлен с целыми коэффициентами, причём ( a 0 , … , a n , q ) = 1 {\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n},q)=1} (при нетривиальном наибольшем общем делителе дробь можно сократить и привести к общему виду). Некоторые оценки[править | править вики-текст] При оценке рациональных тригонометрических сумм в математике рассматривают, как правило, верхнюю оценку на модуль суммы, так как его значительно проще оценивать. В связи с этим принимается, что a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0} , так умножение такой суммы на e 2 π i a 0 {\displaystyle e^{2\pi ia_{0}}} не изменяет её абсолютной величины. Частные случаи[править | править вики-текст] Линейные суммы[править | править вики-текст] Если φ ( x ) = a x {\displaystyle \varphi (x)=ax} , то, пользуясь нотацией Айверсона, можно указать, что S φ ( q ) = q [ q ∣ a ] {\displaystyle {S_{\varphi }}(q)=q[{q\mid a}]} . Доказательство этого факта тривиально следует из того, что сумма корней из единицы по любому целому основанию нулевая. Такие суммы называются линейными. Суммы Гаусса (квадратичные)[править | править вики-текст] Рациональные тригонометрические суммы над многочленами вида φ ( x ) = a x 2 {\displaystyle \varphi (x)=ax^{2}} называются суммами Гаусса. Для таких сумм известны точные значения абсолютной величины, а именно | S φ ( q ) | = { q , q ≡ 1 mod 2 2 q , q ≡ 0 mod 4 0 , q ≡ 2 mod 4 {\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|={\begin{cases}{\sqrt {q}},&q\equiv 1\mod 2\\{\sqrt {2q}},&q\equiv 0\mod 4\\0,&q\equiv 2\mod 4\end{cases}}} Общие оценки[править | править вики-текст] Далее для удобства изложения примем n = deg φ {\displaystyle n=\deg \varphi } . Хуа вывел оценку | S φ ( q ) | < c ( n ) q 1 − 1 n {\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)| , где c ( n ) {\displaystyle c(n)} — константа, зависящая только от n {\displaystyle n} . То есть | S φ ( q ) | = O ( q 1 − 1 n ) {\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|=O(q^{1-{\frac {1}{n}}})} при фиксированном n {\displaystyle n} .[1] Если φ ( x ) = a x n {\displaystyle \varphi (x)=ax^{n}} , то при простом q > 2 {\displaystyle q>2} верна более точная оценка | S φ ( q ) | ≤ ( n − 1 ) q {\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|\leq (n-1){\sqrt {q}}} .[2] Частичные линейные суммы[править | править вики-текст] Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можно вывести, что для φ ( x ) = a x q {\displaystyle \varphi (x)={\frac {ax}{q}}} выполнено | ∑ x = 1 m e 2 π i φ ( x ) | = | e 2 π i a q − e 2 π i a ( m + 1 ) q 1 − e 2 π i a q | ≤ 2 min ( { a q } , 1 − { a q } ) {\displaystyle \left\vert {\sum \limits _{x=1}^{m}{e^{2\pi i\varphi (x)}}}\right\vert =\left\vert {\frac {e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}-e^{2\pi i{\frac {a(m+1)}{q}}}}{1-e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}}}\right\vert \leq {\frac {2}{\min \left({\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace ,1-\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace }\right)}}} , где { x } {\displaystyle \left\lbrace {x}\right\rbrace } означает дробную часть числа x {\displaystyle x} . Применение[править | править вики-текст] В первом доказательстве квадратичного закона взаимности (Гаусс, 1795) использовались суммы Гаусса над многочленом вида φ ( x ) = a x 2 q {\displaystyle \varphi (x)={\frac {ax^{2}}{q}}} . Виноградов с помощью рациональных тригонометрических сумм вывел приближённое описание распределения квадратичных вычетов и невычетов[2]. Рассматриваемые суммы могут также находить применение при доказательстве проблемы Варинга методами аналитической теории чисел. История[править | править вики-текст] Тригонометрические суммы впервые применил Гаусс в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности. См. также[править | править вики-текст] Суммы Рамануджана Суммы Вейля Формула Эйлера Примечания[править | править вики-текст] ↑ И. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — Наука, 1971. ↑ Перейти к: 1 2 Б. И. Сегал. Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел, том 1. — УМН, 1946. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Рациональные_тригонометрические_суммы&oldid=78546992» Категория: Аналитическая теория чисел | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |