18:44 Основная теорема теории Галуа | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определенного вида. Пусть E ⊃ F {\displaystyle E\supset F} — конечное расширение Галуа. Основная теорема утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством промежуточных полей K вида E ⊃ K ⊃ F {\displaystyle E\supset K\supset F} и множеством подгрупп группы Галуа данного расширения (более того, теорема явным образом задаёт это соответствие). Содержание [скрыть] 1 Описание соответствия 2 Свойства соответствия 3 Пример 4 Приложения 5 Литература Описание соответствия[править | править вики-текст] Для данного конечного расширения E ⊃ F {\displaystyle E\supset F} соответствие устроено следующим образом: Для любой подгруппы H группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое EH, — это множество тех элементов поля E, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из H, с индуцированными из E операциями. Для любого промежуточного поля, соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле. Например, поле E соответствует тривиальной подгруппе, а F — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально). Свойства соответствия[править | править вики-текст] Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами. Оно обращает порядок по включению. Для подгрупп группы Галуа условие H 1 ⊆ H 2 {\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}} равносильно E H 2 ⊆> E H 1 {\displaystyle E^{H_{2}}\subseteq >E^{H_{1}}} . Поле EH является нормальным расширением F (или, эквивалентно, расширением Галуа, так как каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда H — нормальная подгруппа группы Галуа. Факторгруппа по ней изоморфна группе Галуа расширения E H ⊃ F {\displaystyle E^{H}\supset F} . Пример[править | править вики-текст] Решётка подполей и соответствующая решётка подгрупп Рассмотрим поле Q ( 2 , 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} . Каждый его элемент можно записать в виде a + b 2 + c 3 + d ( 2 ⋅ 3 ) , {\displaystyle a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),} где a, b, c, d — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения Q ( 2 , 3 ) ⊃ Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q} } , поскольку это расширение порождается 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} и 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , любой автоморфизм однозначно определяется их образами. Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} и − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} (обозначим этот автоморфизм f {\displaystyle f} ), перестановка 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} и − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} (автоморфизм g {\displaystyle g} ) и их композиция f g {\displaystyle fg} . Более точно, эти преобразования задаются следующим образом: f ( a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a − b 2 + c 3 − d 6 {\displaystyle f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}} g ( a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a + b 2 − c 3 − d 6 {\displaystyle g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}} Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства f ( a b ) = f ( a ) ⋅ f ( b ) {\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)} достаточно проверить его на парах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна: G = { 1 , f , g , f g } {\displaystyle G=\{1,f,g,fg\}} Она имеет три нетривильные подгруппы: Автоморфизмы из подгруппы {1, f} сохраняют элементы промежуточного поля Q(√3). Автоморфизмы из {1, g} сохраняют Q(√2). Автоморфизмы из {1, fg} сохраняют Q(√6). Приложения[править | править вики-текст] Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы. Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня n-й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле F, порождённое коэффициентами многочлена и поле E, полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей E = K n ⊃ K n − 1 ⊃ … ⊃ K 1 ⊃ K 0 = F {\displaystyle E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F} такая, что K i + 1 = K i ( α ) {\displaystyle K_{i+1}=K_{i}(\alpha )} , где α {\displaystyle \alpha } — корень уравнения x n − a , a ∈ K i {\displaystyle x^{n}-a,a\in K_{i}} , причем поле K i {\displaystyle K_{i}} содержит все корни уравнения x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} . В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа G i / G i + 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}} существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на фундаментальной теореме теории Галуа. Литература[править | править вики-текст] Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965 P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3. Marcus Daniel. Number Fields. — New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 0-387-90279-1. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Основная_теорема_теории_Галуа&oldid=57334820» Категории: Теория полейТеория группТеория ГалуаСкрытая категория: Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |