22:45 Обобщённая функция | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала ХХ века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике. Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым[2]. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций[3]. Соболев и Шварц являются создателями теории распределений — обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике[4][5]. В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений[6]. Содержание [скрыть] 1 Определение 2 Примеры 3 Операции 3.1 Замена переменных 3.2 Произведение 3.3 Дифференцирование 4 Свойства 5 Примеры 6 Примечания 7 См. также Определение[править | править вики-текст] Формально обобщённая функция f {\displaystyle f} определяется как линейный непрерывный функционал ( f , φ ) {\displaystyle \left(f,\varphi \right)} над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» φ {\displaystyle \varphi } (так называемых основных функций): f : φ ↦ ( f , φ ) {\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )} [7]. Условие линейности: ( f , α 1 φ 1 + α 2 φ 2 ) = α 1 ( f , φ 1 ) + α 2 ( f , φ 2 ) {\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)} . Условие непрерывности: если φ ν → 0 {\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0} , то ( f , φ ν ) → 0 {\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0} . Важным примером основного пространства является пространство D ( R n ) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} — совокупность финитных C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -функций на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D ( R n ) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -сходятся. Сопряжённое пространство к D ( R n ) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} есть пространство обобщённых функций D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} . Сходимость последовательности обобщённых функций из D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} определяется как слабая сходимость функционалов из D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} , то есть f n → f {\displaystyle f_{n}\to f} , в D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} означает, что ( f n , φ ) → ( f , φ ) {\displaystyle (f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )} , для любой φ ∈ D ( R n ) {\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})} . Для того, чтобы линейный функционал f {\displaystyle f} на D ( R n ) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} был обобщённой функцией, то есть f ∈ D ′ ( R n ) {\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})} , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества Ω {\displaystyle \Omega } существовали числа K {\displaystyle K} и m {\displaystyle m} такие, что | ( f , φ ) | ⩽ K | φ | C m {\displaystyle |(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{C^{m}}} для всех φ {\displaystyle \varphi } с носителем в Ω {\displaystyle \Omega } . Если в неравенстве число m {\displaystyle m} можно выбрать не зависящим от Ω {\displaystyle \Omega } , то обобщённая функция f {\displaystyle f} имеет конечный порядок; наименьшее такое m {\displaystyle m} называется порядком f {\displaystyle f} . Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями ( f , φ ) = ∫ R n f φ . {\displaystyle (f,\;\varphi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f\varphi .} Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями f ( x ) {\displaystyle f(x)} по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными. Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция f {\displaystyle f} из D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} совпадает в Ω {\displaystyle \Omega } с локально суммируемой в Ω {\displaystyle \Omega } функцией f 0 ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)} , если ( f , φ ) = ( f 0 , φ ) {\displaystyle (f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )} для всех φ {\displaystyle \varphi } с носителем в Ω {\displaystyle \Omega } . В частности, при f 0 = 0 {\displaystyle f_{0}=0} получается определение того, что обобщённая функция f {\displaystyle f} обращается в нуль внутри Ω {\displaystyle \Omega } . Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f {\displaystyle f} и обозначается s u p p f {\displaystyle \mathrm {supp} \,f} . Если s u p p f {\displaystyle \mathrm {supp} \,f} компактен, то обобщённая функция f {\displaystyle f} называется финитной. Примеры[править | править вики-текст] Любая локально конечная мера μ {\displaystyle \mu } определяет обобщённую функцию f μ {\displaystyle f_{\mu }} ( f μ , φ ) = ∫ φ ( x ) d μ ( x ) . {\displaystyle (f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).} В частности, Примером сингулярной обобщённой функции в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} служит δ {\displaystyle \delta } -функция Дирака ( δ , φ ) = φ ( 0 ) . {\displaystyle (\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).} Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x = 0 {\displaystyle x=0} . δ {\displaystyle \delta } -функция имеет порядок 1. Поверхностная δ {\displaystyle \delta } -функция. Пусть S {\displaystyle S} — кусочно гладкая поверхность и λ {\displaystyle \lambda } — непрерывная функция на S {\displaystyle S} . Обобщённая функция f S , λ {\displaystyle f_{S,\;\lambda }} определяется равенством ( f S , λ , φ ) = ∫ S φ λ . {\displaystyle (f_{S,\;\lambda },\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .} При этом f S , λ {\displaystyle f_{S,\;\lambda }} — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности S {\displaystyle S} с поверхностной плотностью λ {\displaystyle \lambda } (плотность простого слоя). Обобщённая функция ρ ∈ D ′ ( R ) {\displaystyle \rho \in D'(\mathbb {R} )} определяемая равенством ( ρ , φ ) = v p ∫ R φ ( x ) x d x {\displaystyle (\rho ,\;\varphi )=vp\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx} (для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция ρ {\displaystyle \rho } сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}} она регулярна и совпадает с 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} . Операции[править | править вики-текст] Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями. Замена переменных[править | править вики-текст] Пусть f ∈ D ′ ( R n ) {\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})} и A : R n → R n {\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} — гладкая замена переменных. Обобщённая функция f ∘ A {\displaystyle f\circ A} определяется равенством ( f ∘ A , φ ) = ( f , φ ∘ A − 1 J ( A ) ) , {\displaystyle (f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{-1}J(A)),} где J ( A ) {\displaystyle J(A)} обозначает якобиан A {\displaystyle A} . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению A {\displaystyle A} , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции. Произведение[править | править вики-текст] Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным. Пусть f ∈ D ′ ( R n ) {\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})} и a ∈ C ∞ ( R n ) {\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} . Произведение a f {\displaystyle af} определяется равенством ( a f , φ ) = ( f , a φ ) . {\displaystyle (af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).} Например a δ = a ( 0 ) δ {\displaystyle a\delta =a(0)\delta } , x ρ = 1 {\displaystyle x\rho =1} . Для обычных локально суммируемых функций произведение a f {\displaystyle af} совпадает с обычным умножением функций f ( x ) {\displaystyle f(x)} и a ( x ) {\displaystyle a(x)} . Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной. Действительно, в противном случае получилось бы противоречие: ( x δ ) ρ = 0 ⋅ ρ = 0 , {\displaystyle (x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,} ( x ρ ) δ = 1 ⋅ δ = δ . {\displaystyle (x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .} Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций[8][9]. Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в [10]) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга [11], для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т.н. "специальной" алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из [12]). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой фактор-алгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (т.е., бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием). Дифференцирование[править | править вики-текст] Пусть f ∈ D ′ ( R n ) {\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})} . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} определяется равенством ( ∂ f ∂ x i , φ ) = − ( f , ∂ φ ∂ x i ) . {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).} Так как операция φ ↦ ∂ φ ∂ x i {\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}} линейна и непрерывна из D ( R n ) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} в D ( R n ) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция. Свойства[править | править вики-текст] Пространство D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} — полное: если последовательность обобщённых функций f i {\displaystyle f_{i}} из D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} такова, что для любой функции φ ∈ D ( R n ) {\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})} числовая последовательность ( f i , φ ) {\displaystyle (f_{i},\;\varphi )} сходится, то функционал ( f , φ ) = lim i → ∞ ( f i , φ ) {\displaystyle (f,\;\varphi )=\lim _{i\to \infty }(f_{i},\;\varphi )} принадлежит D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} . Всякая f {\displaystyle f} из D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} есть слабый предел функций из D ( R n ) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению. Любая обобщённая функция из D ′ ( R n ) {\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции. Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения a f {\displaystyle af} , где a ∈ C ∞ ( R n ) {\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} . Всякая обобщённая функция f {\displaystyle f} из S ′ ( R n ) {\displaystyle S'(\mathbb {R} ^{n})} или E ′ ( R n ) {\displaystyle E'(\mathbb {R} ^{n})} есть некоторая частная производная от непрерывной функции в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Для любой обобщённой функции f {\displaystyle f} порядка N {\displaystyle N} с носителем в точке 0 существует единственное представление ( f , φ ) {\displaystyle (f,\;\varphi )} в виде линейной комбинации частных производных φ {\displaystyle \varphi } в нуле, с порядком меньшим либо равным N {\displaystyle N} . Примеры[править | править вики-текст] Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы: ∫ − ∞ ∞ e i p x d p = 2 π δ ( x ) . {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\,dp=2\pi \delta (x).} Примечания[править | править вики-текст] ↑ Показывать компактно ↑ Соболев С.Л., Смирнов В.И. Николай Максимович Гюнтер. Библиографический очерк. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 393-405. ↑ Соболев С.Л. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Математический сборник, № 1 (43)б 1936б 39-72 ↑ Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, Paris, 1950-1951 ↑ Lutzen J. The Prehistory of the Theory of Distribution. — New York etc: Springer Verlag, 1982. — 232 с. ↑ Дирак, П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — С. 480. ↑ И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов. Обобщенные функции и действия над ними. ↑ Шилов, Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Наука, 1965. — С. 16. ↑ Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 291—301. ↑ Г. К. Толоконников, Ю. М. Широков, Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятия первообразной. - Теоретическая и математическая физика. — 1981. — том 46. — № 3. — стр. 305—309., Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова.I — Теоретическая и математическая физика. — 1982. — том 51. — № 3. — стр. 366-375. ↑ Colombeau J. F. Nonlinear Generalized Functions: their origin, some developments and recent advances. - Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences. -2013. - V. 7. - No. 2. - P. 201-239. ↑ Colombeau J. F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. — Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1985. — 281 с. — ISBN 978-0-444-87756-7. ↑ Colombeau J. F. Multiplication of distributions. Lecture Notes in Math. 1532. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. — 195 с. — ISBN 3-540-56288-5. См. также[править | править вики-текст] Спор о струне Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Обобщённая_функция&oldid=71619752» Категории: Функциональный анализМатематическая физикаТопологические пространства функцийСкрытая категория: Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |