22:34 Метод Адамса | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Ме́тод А́дамса — конечноразностный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В отличие от метода Рунге-Кутты использует для вычисления очередного значения искомого решения не одно, а несколько значений, которые уже вычислены в предыдущих точках. Назван по имени предложившего его в 1855 году английского астронома Джона К. Адамса. Содержание [скрыть] 1 Определение 2 Свойства 3 Методы Адамса — Башфорта 4 Методы Адамса — Мультона 5 Примечания 6 Библиография Определение[править | править вики-текст] Пусть дана система дифференциальных уравнений первого порядка y ′ = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0}} , для которой надо найти решение на сетке с постоянным шагом x n − x 0 = ( n − 1 ) h {\displaystyle x_{n}-x_{0}=(n-1)h} . Расчётные формулы метода Адамса для решения этой системы имеют вид:[1] a) экстраполяционные — метод Адамса-Башфорта y n + 1 = y n + h ∑ λ = 0 k u − λ f ( x n − λ , y n − λ ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}} , б) интерполяционные или неявные — метод Адамса-Мультона y n + 1 = y n + h ∑ λ = − 1 k − 1 v − λ f ( x n − λ , y n − λ ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}} , где u − λ , v − λ {\displaystyle u_{-\lambda },v_{-\lambda }} — некоторые вычисляемые постоянные. При одном и том же k {\displaystyle k} формула б) точнее[2], но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения y n + 1 {\displaystyle y_{n+1}} . На практике находят приближение из а), а затем приводят одно или несколько уточнений по формуле y n + 1 ( i + 1 ) = y n + h ∑ λ = 0 k − 1 v − λ f ( x n − λ , y n − λ ) + h v 1 f ( x n + 1 , y n + 1 ( i ) ) {\displaystyle y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})} . Свойства[править | править вики-текст] Методы Адамса k {\displaystyle k} -го порядка требуют предварительного вычисления решения в k {\displaystyle k} начальных точках. Для вычисления начальных значений обычно используют одношаговые методы, например, 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности. Локальная погрешность методов Адамса k {\displaystyle k} -го порядка — O ( h k ) {\displaystyle O(h^{k})} . Структура погрешности метода Адамса такова, что погрешность остаётся ограниченной или растёт очень медленно в случае асимптотически устойчивых решений уравнения. Это позволяет использовать этот метод для отыскания устойчивых периодических решений, в частности, для расчёта движения небесных тел. Методы Адамса — Башфорта[править | править вики-текст] Явные методы Адамса — Башфорта[3] y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})} , (метод Эйлера) y n + 2 = y n + 1 + h ( 3 2 f ( t n + 1 , y n + 1 ) − 1 2 f ( t n , y n ) ) , y n + 3 = y n + 2 + h ( 23 12 f ( t n + 2 , y n + 2 ) − 4 3 f ( t n + 1 , y n + 1 ) + 5 12 f ( t n , y n ) ) , y n + 4 = y n + 3 + h ( 55 24 f ( t n + 3 , y n + 3 ) − 59 24 f ( t n + 2 , y n + 2 ) + 37 24 f ( t n + 1 , y n + 1 ) − 3 8 f ( t n , y n ) ) , y n + 5 = y n + 4 + h ( 1901 720 f ( t n + 4 , y n + 4 ) − 1387 360 f ( t n + 3 , y n + 3 ) + 109 30 f ( t n + 2 , y n + 2 ) − 637 360 f ( t n + 1 , y n + 1 ) + 251 720 f ( t n , y n ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})-{\frac {1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {109}{30}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}} Методы Адамса — Мультона[править | править вики-текст] Неявные методы Адамса — Мультона[3] y n = y n − 1 + h f ( t n , y n ) {\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})} , (неявный метод Эйлера) y n + 1 = y n + 1 2 h ( f ( t n + 1 , y n + 1 ) + f ( t n , y n ) ) , y n + 2 = y n + 1 + h ( 5 12 f ( t n + 2 , y n + 2 ) + 2 3 f ( t n + 1 , y n + 1 ) − 1 12 f ( t n , y n ) ) , y n + 3 = y n + 2 + h ( 3 8 f ( t n + 3 , y n + 3 ) + 19 24 f ( t n + 2 , y n + 2 ) − 5 24 f ( t n + 1 , y n + 1 ) + 1 24 f ( t n , y n ) ) , y n + 4 = y n + 3 + h ( 251 720 f ( t n + 4 , y n + 4 ) + 646 720 f ( t n + 3 , y n + 3 ) − 264 720 f ( t n + 2 , y n + 2 ) + 106 720 f ( t n + 1 , y n + 1 ) − 19 720 f ( t n , y n ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}} Примечания[править | править вики-текст] ↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 43. ↑ Интерполяция точнее экстраполяции. ↑ Перейти к: 1 2 Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems (2nd ed.), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 . Библиография[править | править вики-текст] Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., 1959. Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд. М. 1975. Для улучшения этой статьи желательно: Викифицировать список литературы. [показать] Метод конечных разностей Общие статьи Метод конечных разностей • Разностная схема • Разностное уравнение Виды разностных схем Метод Эйлера • Метод Рунге — Кутты • Метод Адамса • Интегрирование Верле • Метод конечных разностей во временной области Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Метод_Адамса&oldid=81783221» Категории: Вычислительная математикаЧисленное интегрированиеСкрытые категории: Страницы, использующие волшебные ссылки ISBNВикипедия:Статьи с невикифицированным списком литературы | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |